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作者：本質(zhì)教育魏旭東

祝大家新年快樂(lè)?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會(huì)從18年高考開(kāi)始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個(gè)擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：我們遇到中文的時(shí)候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。大家常常聽(tīng)到的“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是用具體的簡(jiǎn)單數(shù)字代替變量（更進(jìn)一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開(kāi)始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來(lái)幫助我們真正理解題目，理解每一個(gè)已知數(shù)、條件的作用。我們有時(shí)需要借助特殊化的結(jié)論，有時(shí)則可以利用其方法。

盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運(yùn)用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，不斷地通過(guò)置換目標(biāo)來(lái)改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問(wèn)問(wèn)自己，我們還有什么已知但沒(méi)有使用嗎？

三招的概念雖然簡(jiǎn)單易懂，但是如果要熟練運(yùn)用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)

2019.1.4更新

（過(guò)于簡(jiǎn)單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

2017全國(guó)Ⅱ卷

試卷第21題

已知函數(shù) $f(x)=ax^2-ax-xlnx$ ，且 $f(x)\geq 0$ 。

（1）求 $a$ 的值；

（2）證明： $f(x)$ 存在唯一的極大值點(diǎn) $x_0$ ，且 $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ .

三招破題

（1）翻譯：從函數(shù)表達(dá)式我們知道，定義域： $x>0$ ，由 $f(x)\geq 0$ 可翻譯出 $f(x)_{min}\geq0$ ，

接下來(lái)我們把翻譯出來(lái)的東西寫(xiě)出來(lái)并化簡(jiǎn)。

如何求最小值呢，這個(gè)題直接求導(dǎo)挺復(fù)雜的，我們用特殊化試試看。

特殊化：我們看看能不能取到一個(gè) $x$ ，能令函數(shù)值為0，即可猜想它是最小值，找最特殊最極端的例子，顯然是取 $1$ .

$f(1)=a-a-ln1=0$ ，找到了！

那這里我們是不是可以猜想，如果在 $1$ 的左邊，函數(shù)單調(diào)遞減，在右邊單調(diào)遞增，那么是不是滿足了 $1$ 為最小值，且 $f(x)\geq 0$ 。

此時(shí)我們是不是能知道 $x=1$ 是最小值點(diǎn)，即 $f'(1)=2a-a-ln1-1=0$ ，

即 $a=1$ ，

但別著急，我們這里只是猜測(cè)，我們還需要驗(yàn)證是否如我們所猜測(cè)的。

當(dāng) $a=1$ 時(shí)， $f(x)=x^2-x-xlnx$ ，但是這個(gè)函數(shù)并不是我們想象的那么簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，那怎么辦，我們根據(jù)已知來(lái)化簡(jiǎn)試試能不能證明其非負(fù)性，如果可以，我們也不用管是否單調(diào)了，如果不行說(shuō)明我們這樣特殊化走不通。

$x^2-x-xlnx>0$ ，等價(jià)于 $x-1-lnx>0$ ，此時(shí)我么相當(dāng)于將原函數(shù)簡(jiǎn)化了（因?yàn)槎x域的緣故），我們來(lái)試試另一個(gè)函數(shù)好不好求。

$g(x)=x-1-lnx$ ， $g'(x)=1-\frac{1}{x}$ ，很顯然在 $1$ 的左邊，函數(shù)單調(diào)遞減，在右邊單調(diào)遞增，那么 $g(x)\geq0$ 恒成立，故 $f(x)\geq0$ 恒成立。

綜上： $a=1$ .

（2）先把我們的已知寫(xiě)出來(lái)（注意第一問(wèn)已經(jīng)可以當(dāng)作已知了）：

$f(x)=x^2-x-xlnx$ ，且 $f(x)\geq 0$ ，定義域是 $(0,+∞)$

盯住目標(biāo)：第一個(gè)小目標(biāo)：證明 $f(x)$ 存在唯一的極大值點(diǎn) $x_0$ ，如何去求函數(shù)的極大值點(diǎn)吶，是不是要求導(dǎo)。

$f'(x)=2x-lnx-2$ ，這一步還不能直接判斷正負(fù)，再求導(dǎo)，

$f''(x)=2-\frac{1}{x}$ ，顯然 $f'(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 單調(diào)減，在 $(\frac{1}{2},+∞)$ 單調(diào)增。

由第一問(wèn)我們知道， $f'(1)=0$ ,為極小值點(diǎn)，那我們的目標(biāo)是找到另外一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷其是否為唯一極大值點(diǎn)。

在極大值點(diǎn)的左邊，導(dǎo)函數(shù)要大于0，在極大值點(diǎn)的右邊，導(dǎo)函數(shù)要小于0，我們要去找到這個(gè)一個(gè)臨界。

$f'(\frac{1}{2})<0$ ，因?yàn)? $f'(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 單調(diào)減，那么我們可以試試找一個(gè)比 $\frac{1}{2}$ 小的數(shù)，

因?yàn)橛袑?duì)數(shù)的存在，取自然數(shù)不好判斷，題目最后其實(shí)提示你了，看第二個(gè)小目標(biāo)，

我們?nèi)? $f'(e^{-2})=2e^{-2}$ ，顯然是正數(shù)，成功。

故在 $(e^{-2},\frac{1}{2})$ 上有一個(gè)極大值點(diǎn)，由于其單調(diào)性，顯然唯一，故證明。

第二個(gè)小目標(biāo)：證明 $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ ，我們?cè)诘谝粋€(gè)小目標(biāo)都把這個(gè)極大值點(diǎn)的范圍寫(xiě)出來(lái)了，那我們這里直接套用看看符合與否即可。

$x_0\in(e^{-2},\frac{1}{2})$ ，且 $f'(x_0)=2x_0-2-lnx_0=0$ ，

那么 $f(x_0)=x_0^2-x_0-x_0lnx_0=x_0^2-x_0-x_0(2x_0-2)$ ，化簡(jiǎn)一下，

得到 $f(x_0)=-x_0^2+x_0$ ，這是個(gè)二次函數(shù)，有范圍的，而正好對(duì)稱軸是 $x=\frac{1}{2}$ ，

故 $f(x_0)<f(\frac{1}{2})=2^{-2}$ ，還有左邊怎么辦？如果再用這個(gè)二次函數(shù)顯然找不到 $e^{-2}$ ，

怎么辦？

我們再用特殊化試試哪個(gè)函數(shù)值等于 $e^{-2}$ 就可以了嘛。

因?yàn)榇嬖诒磉_(dá)式里存在平方，我們可以試試 $f(e^{-1})$ ，

$f(e^{-1})=e^{-2}-e^{-1}-e^{-1}lne^{-1}=e^{-2}$ ，哇，我們又成功找到了。

接下來(lái)是不是只需要證明 $f(x_0)>f(e^{-1})$ ，

顯然我們要從剛才導(dǎo)函數(shù)那里入手， $f'(e^{-1})>0$ ，結(jié)合剛才的判斷， $e^{-1}$ 顯然會(huì)在 $x_0$ 左邊，此時(shí)函數(shù)在 $(0,x_0)$ 單調(diào)遞增，故證明 $f(x_0)>f(e^{-1})$ .

綜上， $e^{-2}<f(x_0)<2^{-2}$ .

（這個(gè)題可以說(shuō)是近年來(lái)導(dǎo)數(shù)比較難的題目了，其實(shí)是需要考慮的多，并不是特別深?yuàn)W）

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