如何解決高考數(shù)學(xué)壓軸題（2）- 2018年浙江理科數(shù)學(xué)壓軸題
作者李澤宇簡(jiǎn)介：
本科就讀于南京大學(xué)，MBA就讀于ESSEC和芝加哥大學(xué);
大四于新東方教授GRE/GMAT/TOEFL?（part-time）,?在巴黎MBA-Center教授GMAT
2008-2009 Amgen南歐區(qū)管理團(tuán)隊(duì)商業(yè)和金融分析師
2010-2016?匯豐（香港）股票衍生品交易組聯(lián)席總監(jiān)
2015年成立本質(zhì)教育有限公司，任CEO
高考數(shù)學(xué)（理科卷）的壓軸題是高考數(shù)學(xué)最難的題目，也是用來(lái)區(qū)分檔次的題目。不過(guò)無(wú)論如何，高考是一個(gè)2小時(shí)考20余題的考試，因此不應(yīng)該出現(xiàn)過(guò)難的題目：一個(gè)題目，如果在規(guī)定時(shí)間內(nèi)沒(méi)有人能夠解答，這樣的題目是沒(méi)有任何篩選意義的。（真正的難題都需要大量的時(shí)間思考，反復(fù)嘗試的。例如國(guó)際奧林匹克競(jìng)賽題，每題有就有1.5小時(shí)的解答時(shí)間，而數(shù)學(xué)家們研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有些甚至要數(shù)月的反復(fù)嘗試，不斷“改造”問(wèn)題，提出猜想才能夠解決。）本質(zhì)教育的數(shù)學(xué)哲學(xué)前三招 – “翻譯”，“特殊化”和“盯住”目標(biāo)，足以解決高考?jí)狠S題了。在我用這三招解決2018年浙江省理科數(shù)學(xué)壓軸題前，我希望同學(xué)們記住以下重要結(jié)論：
結(jié)論1：高考是有時(shí)間限制的考試，任何有時(shí)間限制的考試對(duì)熟練程度的要求都非常高，記?。?strong>那些考試高分的人總是簡(jiǎn)單的題目做得又快又對(duì)的人，這樣他/她才有時(shí)間思考難題。
因此，雖然我本人很反感題海戰(zhàn)術(shù)，但既然高考形式如此，我們只有適應(yīng)它：同學(xué)們需要通過(guò)足量的練習(xí)來(lái)提高對(duì)于1）數(shù)學(xué)知識(shí)和2）我們?nèi)械氖炀毘潭?。?jiǎn)單的題目你要做到用到了三招你都沒(méi)意識(shí)到你用了他們的程度（就像開(kāi)車一樣，熟練之后，你潛意識(shí)就可以操作了—subconscious awareness）。特別是高三的同學(xué)，平常解題時(shí)掐著表做，如果做不完，說(shuō)明你的熟練程度還是不夠。
結(jié)論2：既然壓軸題不能過(guò)分困難，因此需要良好的設(shè)計(jì)。一個(gè)設(shè)計(jì)精良的題目，每一個(gè)已知條件都有作用，沒(méi)有思路的時(shí)候，問(wèn)問(wèn)自己，我用到了所有的已知條件了嗎？
如果一題有多問(wèn)，每一個(gè)小問(wèn)的結(jié)論都應(yīng)該作為定理，在下一問(wèn)中試圖通過(guò)我們的第三招“盯住目標(biāo)，聯(lián)想與之相關(guān)的定理，定義或方法加以利用，不斷改變目標(biāo)”加以利用。
結(jié)論2看起來(lái)比較抽象，我現(xiàn)在就用2018年浙江省數(shù)學(xué)理科卷的壓軸題來(lái)舉例說(shuō)明：
2018年浙江省數(shù)學(xué)理科卷壓軸題：
我們發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)一步通過(guò)因式分解化簡(jiǎn)：
第一步翻譯完成，這一步基本是不動(dòng)什么腦筋的。
接下來(lái)，我們利用第三招，盯住目標(biāo)：
得證。這一問(wèn)輕松利用我們的第一招和第三招解決，哪怕是高考?jí)狠S題，第一問(wèn)往往都不困難。
接下來(lái)我們來(lái)看第二問(wèn)：
這是一個(gè)非常有意思的結(jié)論，我們立馬覺(jué)得這個(gè)結(jié)論不是偶然，正如第二招特殊化告訴我們的，我們可以嘗試?yán)闷浣Y(jié)論，也可以利用其方法。我們先放在這里，繼續(xù)我們的分類討論：
這個(gè)式子展開(kāi)后非常復(fù)雜，我們覺(jué)得難以繼續(xù)下去，怎么辦？數(shù)學(xué)是靈活的，一條路走不通退回來(lái)，換一條路，這就是為什么我們的三招是靈活的，你可以用不同的方法翻譯嗎？你可以聯(lián)想不同的定理，定義或方法嗎？你利用了所有的已知條件了嗎？我們可以利用我們的特殊化例子的結(jié)論嗎？可以利用其方法嗎？
正如我一開(kāi)始寫到的：
?
一個(gè)設(shè)計(jì)精良的題目，每一個(gè)已知條件都有作用，沒(méi)有思路的時(shí)候，問(wèn)問(wèn)自己，我用到了所有的已知條件了嗎？
如果一題有多問(wèn)，每一個(gè)小問(wèn)的結(jié)論都應(yīng)該作為定理，在下一問(wèn)中試圖通過(guò)我們的第三招“盯住目標(biāo)，聯(lián)想與之相關(guān)的定理，定義或方法加以利用，不斷改變目標(biāo)，加以利用?！?/strong>
（正如我們對(duì)第三招的介紹，解決問(wèn)題的高手都很理解有的放矢的道理，我們往往是從目標(biāo)入手反過(guò)來(lái)逆向思維的！）
而這個(gè)目標(biāo)本身并不困難（求證不等式，我們通過(guò)第三招聯(lián)想出來(lái)的定理是函數(shù)的單調(diào)性，即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)這個(gè)定理）：
雖然多少有點(diǎn)沮喪（這題設(shè)計(jì)得不算特別好，第一問(wèn)的結(jié)論居然不能幫助我們解決第二問(wèn)！），但我們的數(shù)學(xué)三招是靈活的，一條路不通就換一條，這就叫做解題中的韌性。
評(píng)價(jià)：我自己做這題用了大概半個(gè)小時(shí)。到最后一步討論
之前是非?？焖俚?，而后面我首先嘗試去利用第一問(wèn)的結(jié)論，結(jié)果無(wú)法解決問(wèn)題，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，我個(gè)人認(rèn)為這道題的設(shè)計(jì)是有問(wèn)題的，要知道高考是有嚴(yán)格時(shí)間限制的，這樣的一步探索失敗雖然在現(xiàn)實(shí)中非常常見(jiàn)（數(shù)學(xué)家們研究的難題嘗試數(shù)十條不同的道路都是常見(jiàn)的），但考試中卻是不允許的，如果是考試我會(huì)傾向于放棄最后一個(gè)分類討論，雖然會(huì)被扣掉3分左右，但浪費(fèi)15分鐘在3分上不太劃得來(lái)。最后，我退一步，利用特殊化的結(jié)論解決了這道題。無(wú)論如何，我很客觀的把我的思路一步一步的寫了下來(lái)，希望對(duì)同學(xué)們體會(huì)本質(zhì)教育的數(shù)學(xué)三招有所助益。
