數(shù)學(xué)三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）19.1.4

作者：本質(zhì)教育 魏旭東

祝大家新年快樂?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語言。大家常 常聽到的“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數(shù)字代替變量（更進(jìn)一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數(shù)、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結(jié)論，有時則可以利用其方法。

盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運(yùn)用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來，不斷地通過置換目標(biāo)來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運(yùn)用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)

 

2019.1.4更新

 

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

 

 

2017全國Ⅱ卷

試卷第21題

已知函數(shù) f(x)=ax^2-ax-xlnx ，且 f(x)\geq 0 。

（1）求 a 的值；

（2）證明： f(x) 存在唯一的極大值點(diǎn) x_0 ，且 e^{-2}<f(x_0)<2^{-2} .

 

三招破題

（1）翻譯：從函數(shù)表達(dá)式我們知道，定義域： x>0 ，由f(x)\geq 0 可翻譯出 f(x)_{min}\geq0 ，

接下來我們把翻譯出來的東西寫出來并化簡。

如何求最小值呢，這個題直接求導(dǎo)挺復(fù)雜的，我們用特殊化試試看。

特殊化：我們看看能不能取到一個 x ，能令函數(shù)值為0，即可猜想它是最小值，找最特殊最極端的例子，顯然是取 1 .

f(1)=a-a-ln1=0 ，找到了！

那這里我們是不是可以猜想，如果在 1 的左邊，函數(shù)單調(diào)遞減，在右邊單調(diào)遞增，那么是不是滿足了 1 為最小值，且 f(x)\geq 0 。

此時我們是不是能知道 x=1 是最小值點(diǎn)，即 f'(1)=2a-a-ln1-1=0 ，

即 a=1 ，

但別著急，我們這里只是猜測，我們還需要驗(yàn)證是否如我們所猜測的。

當(dāng) a=1 時， f(x)=x^2-x-xlnx ，但是這個函數(shù)并不是我們想象的那么簡簡單單的兩個單調(diào)區(qū)間，那怎么辦，我們根據(jù)已知來化簡試試能不能證明其非負(fù)性，如果可以，我們也不用管是否單調(diào)了，如果不行說明我們這樣特殊化走不通。

x^2-x-xlnx>0 ，等價于 x-1-lnx>0 ，此時我么相當(dāng)于將原函數(shù)簡化了（因?yàn)槎x域的緣故），我們來試試另一個函數(shù)好不好求。

g(x)=x-1-lnx ， g'(x)=1-\frac{1}{x} ，很顯然在 1 的左邊，函數(shù)單調(diào)遞減，在右邊單調(diào)遞增，那么 g(x)\geq0 恒成立，故 f(x)\geq0 恒成立。

綜上： a=1 .

 

（2）先把我們的已知寫出來（注意第一問已經(jīng)可以當(dāng)作已知了）：

f(x)=x^2-x-xlnx ，且 f(x)\geq 0 ，定義域是 (0,+∞)

盯住目標(biāo)：第一個小目標(biāo)：證明f(x) 存在唯一的極大值點(diǎn) x_0，如何去求函數(shù)的極大值點(diǎn)吶，是不是要求導(dǎo)。

f'(x)=2x-lnx-2 ，這一步還不能直接判斷正負(fù)，再求導(dǎo)，

f''(x)=2-\frac{1}{x} ，顯然 f'(x) 在 (0,\frac{1}{2}) 單調(diào)減，在 (\frac{1}{2},+∞) 單調(diào)增。

由第一問我們知道， f'(1)=0 ,為極小值點(diǎn)，那我們的目標(biāo)是找到另外一個導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷其是否為唯一極大值點(diǎn)。

在極大值點(diǎn)的左邊，導(dǎo)函數(shù)要大于0，在極大值點(diǎn)的右邊，導(dǎo)函數(shù)要小于0，我們要去找到這個一個臨界。

f'(\frac{1}{2})<0 ，因?yàn)?f'(x) 在 (0,\frac{1}{2}) 單調(diào)減，那么我們可以試試找一個比 \frac{1}{2} 小的數(shù)，

因?yàn)橛袑?shù)的存在，取自然數(shù)不好判斷，題目最后其實(shí)提示你了，看第二個小目標(biāo)，

我們?nèi)?f'(e^{-2})=2e^{-2} ，顯然是正數(shù)，成功。

故在 (e^{-2},\frac{1}{2}) 上有一個極大值點(diǎn)，由于其單調(diào)性，顯然唯一，故證明。

第二個小目標(biāo)：證明 e^{-2}<f(x_0)<2^{-2} ，我們在第一個小目標(biāo)都把這個極大值點(diǎn)的范圍寫出來了，那我們這里直接套用看看符合與否即可。

x_0\in(e^{-2},\frac{1}{2})，且 f'(x_0)=2x_0-2-lnx_0=0 ，

那么 f(x_0)=x_0^2-x_0-x_0lnx_0=x_0^2-x_0-x_0(2x_0-2) ，化簡一下，

得到 f(x_0)=-x_0^2+x_0 ，這是個二次函數(shù)，有范圍的，而正好對稱軸是 x=\frac{1}{2} ，

故 f(x_0)<f(\frac{1}{2})=2^{-2} ，還有左邊怎么辦？如果再用這個二次函數(shù)顯然找不到 e^{-2} ，

怎么辦？

我們再用特殊化試試哪個函數(shù)值等于 e^{-2} 就可以了嘛。

因?yàn)榇嬖诒磉_(dá)式里存在平方，我們可以試試 f(e^{-1}) ，

f(e^{-1})=e^{-2}-e^{-1}-e^{-1}lne^{-1}=e^{-2} ，哇，我們又成功找到了。

接下來是不是只需要證明 f(x_0)>f(e^{-1})，

顯然我們要從剛才導(dǎo)函數(shù)那里入手， f'(e^{-1})>0 ，結(jié)合剛才的判斷， e^{-1} 顯然會在 x_0 左邊，此時函數(shù)在 (0,x_0) 單調(diào)遞增，故證明 f(x_0)>f(e^{-1}).

綜上， e^{-2}<f(x_0)<2^{-2} .

 

（這個題可以說是近年來導(dǎo)數(shù)比較難的題目了，其實(shí)是需要考慮的多，并不是特別深奧）

 

 

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