排列組合在高中是非常重要的一章（哪怕高考考得不多），因?yàn)檫@一章是概率論的基礎(chǔ)。無(wú)論同學(xué)們以后從事什么職業(yè)，概率論都是非常有用的一個(gè)學(xué)問(wèn)。如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合這部分的內(nèi)容？畢竟富貴險(xiǎn)中求，而風(fēng)險(xiǎn)管理（riskmanagement）就是和概率息息相關(guān)的學(xué)問(wèn)了,我將在下一篇“如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)概率論”的文章中探討下我認(rèn)為的成功三要素，結(jié)論和你們多數(shù)人想象的出入很大。
事實(shí)上，排列組合這一章很多同學(xué)都抱怨很困難，特別容易出錯(cuò)。實(shí)際上，出現(xiàn)這個(gè)的原因很大程度上是現(xiàn)有的很多教材在描述加法原理和乘法原理（特別是后者）是有問(wèn)題的，因此導(dǎo)致同學(xué)們?cè)跊](méi)有滿足適用條件的情況下胡亂使用這兩個(gè)原理，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。
不信？先解幾道題吧：
如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合：例題
1. 有4位學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
2．（2017?浙江高考）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有 ?? 種不同的選法．（用數(shù)字作答）
3. （2010?天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用（ ?。?/p>
A．288種????????? B．264種?????????? C．240種?????????? D．168種
答案分別為：1.A? 2. 660 ??3. B
你做對(duì)了嗎？
如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合：例題解析
在講解這幾題之前，我們先把加法和乘法原理好好解釋清楚：
無(wú)論是加法原理(additionprinciple)還是乘法原理(multiplicationprinciple)都是計(jì)數(shù)法(countingmethod)的基本原理。計(jì)數(shù)法，顧名思義，就是基本的數(shù)數(shù)–我們一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)就知道的事情。
例如，下圖有多少個(gè)圓？
我希望同學(xué)們別忘了這個(gè)幼兒園孩子也會(huì)的計(jì)數(shù)法：
當(dāng)計(jì)數(shù)量不大的時(shí)候，我們可以把每一個(gè)元素寫下來(lái)，像個(gè)孩子一樣去數(shù)數(shù)。
當(dāng)計(jì)數(shù)量很大，這時(shí)一個(gè)一個(gè)一個(gè)的數(shù)顯然不現(xiàn)實(shí)（當(dāng)然，可以編程交給計(jì)算機(jī)），因此我們需要加法原則和乘法原則，乃至更多的計(jì)數(shù)法定理的幫助。
加法原則(Addition Principle):
因此在求解計(jì)數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，運(yùn)用我們的第三招“盯住目標(biāo)”聯(lián)想到加法原理，記住核心就是分類。
現(xiàn)在我們來(lái)回過(guò)頭來(lái)看看第一題：
1. 有4位學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
……
以此類推
這個(gè)表實(shí)際上就是一個(gè)反復(fù)分類的過(guò)程，分類的過(guò)程中我們保證了無(wú)遺漏，無(wú)重疊，最后我們有9種分配方法。這是一個(gè)很好的考察加法原理的題目，關(guān)鍵就在于考察考生是否理解了加法原理和乘法原理的核心就是分類。
如果你做錯(cuò)了，好好分析為什么做出了，你滿足了使用加法原理的條件了嗎？
接下來(lái)我們來(lái)看乘法原理(Multiplication Principle):
你們的教科書上一般是這樣描述的：
我接下來(lái)用兩個(gè)例子來(lái)闡明這種描述的問(wèn)題：
我們直接套用上面描述的乘法原理：
第1步：取第1個(gè)球，有4種方法
第2步：取第2個(gè)球，由于剩下3個(gè)球，有3種方法
第3步：取第3個(gè)球，由于剩下2個(gè)球，有2種方法
因此總共有：種方法，即24種不同的“排”。
這個(gè)答案是正確的，我們接著看例2
我們做這件事情的方法還是一樣的呀：
第1步：取第1個(gè)球，有4種方法
第2步：取第2個(gè)球，由于剩下3個(gè)球，有3種方法
第3步：取第3個(gè)球，由于剩下2個(gè)球，有2種方法
因此總共有：種方法，即24種不同的“堆”。
這個(gè)答案明顯是錯(cuò)誤的，最起碼的，由于不考慮順序，“堆”的種類一定比“排”的種類要少，而不可能相等。
那么這種解法錯(cuò)在哪兒？我們一字不差的使用教科書上的乘法原理呀？
事實(shí)上，同學(xué)們要記做，在數(shù)學(xué)上，乘法就是加法來(lái)定義的法則，即乘法就是加法。例如+3
因此，在我們使用乘法原理的時(shí)候，事實(shí)上也是一個(gè)分類的過(guò)程，而這兩個(gè)條件1）無(wú)遺留 2）無(wú)重疊也必須要滿足，這是使用乘法原理的前提！這就是很多同學(xué)在使用乘法原理的時(shí)候經(jīng)常出錯(cuò)的原因所在，不怪你們，教科書的編排是有問(wèn)題的。
我們用這兩個(gè)例子說(shuō)明：
在使用乘法原理的時(shí)候，我們實(shí)際上是在分類– 我們把“排”和“堆”分類
“第一步有4種方法”實(shí)際上就是說(shuō)，我們把“排”和“堆”分成4類，如下圖
理解了乘法原理的使用條件，我們接下來(lái)可以看看后面兩道高考題：
2．（2017?浙江高考）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有 ?? 種不同的選法．（用數(shù)字作答）
思路：首先仍然是第一招翻譯：
而目標(biāo)是求不同選法的個(gè)數(shù)– 即計(jì)數(shù)問(wèn)題。利用第三招，盯住目標(biāo)，聯(lián)想加法原理或乘法原理。而無(wú)論是用加法原理還是乘法原理，核心都是分類，這題的條件之一就是服務(wù)隊(duì)至少有1名女生，我們由此入手分類：
第一類：服務(wù)隊(duì)有且僅有1個(gè)女生
第二類：服務(wù)隊(duì)有且僅有2個(gè)女生
這兩類包含了滿足條件的所有情況（無(wú)遺漏），而且這兩類之間無(wú)交集（無(wú)重疊），因此我們可以利用加法原理。
對(duì)于第一類，我們可以先選服務(wù)隊(duì)的女生，由于女生不同服務(wù)隊(duì)一定不同（無(wú)論剩下的男生如何選），因此一定是不同的選法，我們復(fù)合無(wú)重疊的條件，因此可以使用乘法原理：
因此根據(jù)加法原理，兩類一共660種方法。
你做對(duì)了嗎？如果做錯(cuò)了，好好分析為什么做出了，你滿足了使用加法原理和乘法原理的兩個(gè)條件了嗎？
3. （2010?天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用（ ?。?/p>
思路： 這題可以有至少3種不同的解法，因?yàn)槠年P(guān)系，我這里寫一種和標(biāo)準(zhǔn)答案不同的。
你做對(duì)了嗎？如果做錯(cuò)了，好好分析為什么做出了，你滿足了使用加法原理和乘法原理的兩個(gè)條件了嗎？
我希望通過(guò)這篇文章，說(shuō)清楚加法原理和乘法原理的使用條件，這也是如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)排列組合的前提。現(xiàn)有的教材如果沒(méi)有說(shuō)清楚的建議修改，從此以后同學(xué)們不應(yīng)該再有做錯(cuò)的排列組合題目。
作者李澤宇老師簡(jiǎn)介：。 本科就讀于南京大學(xué)，MBA就讀于ESSEC和芝加哥大學(xué); 大四于新東方教授GRE/GMAT/TOEFL?（part-time）,?在巴黎MBA-Center教授GMAT 2008-2009 Amgen南歐區(qū)管理團(tuán)隊(duì)商業(yè)和金融分析師 2010-2016?匯豐（香港）股票衍生品交易組聯(lián)席總監(jiān) 2015年成立本質(zhì)教育有限公司，任CEO
